Question

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n为正整数）都在函数y=(

1

2

)x的图象上，且数列{a_n} 是a₁=1，公差为d的等差数列．
（1）证明：数列{b_n} 是公比为(

1

2

)d的等比数列；
（2）若公差d=1，以点P_n的横、纵坐标为边长的矩形面积为c_n，求最小的实数t，若使c_n≤t（t∈R，t≠0）对一切正整数n恒成立；
（3）对（2）中的数列{a_n}，对每个正整数k，在a_k与a_k+1之间插入2^k-1个3（如在a₁与a₂之间插入2⁰个3，a₂与a₃之间插入2¹个3，a₃与a₄之间插入2²个3，…，依此类推），得到一个新的数列{d_n}，设S_n是数列{d_n}的前n项和，试求S₁₀₀₀．

Answer 1

分析：（1）根据题中已知条件以及等差数列的基本性质，先求出b_n的通项公式，然后证明为常数即可证明；
（2）先求出b_n的通项公式，然后求出c_n的表达式，可知数列c_n从第二项起随n增大而减小，故c_n≤c₂，即t=c₂，便可求出t的最小值；
（3）根据题意先求出d_n的表达式，然后求出S_n的表达式，继而可以求得S₁₀₀₀的值．

解答：解：（1）由已知bn=(

1

2

)an，（1分）
所以，

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d（常数），（4分）
所以数列b_n是等比数列．（5分）
（2）公差d=1，则a_n=n，得bn=(

1

2

)n，
∴cn=n(

1

2

)n，（7分）
cn-cn+1=n(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1=(

1

2

)n

n-1

2

≥0，
∴c₁=c₂＞c₃＞c₄＞c_n，
数列c_n从第二项起随n增大而减小（10分）
∴又c1=c2=

1

2

，则

1

2

≤t．最小的实数t等于

1

2

（12分）
（3）∵a_n=n，
∴数列d_n中，从第一项a₁开始到a_k为止（含a_k项），
共有k+2⁰+2¹++2^k-2=k+2^k-1-1项，（14分）
k=10时k+2^k-1-1=521（15分）
k=11时k+2^k-1-1=1034＞1000（16分）
∴S₁₀₀₀=（1+2+10）+990×3=3025（18分）

点评：本题考查了等差数列和等比数列的基本性质以及函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．