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(2007•深圳一模)已知点A(1,0),B(0,1)和互不相同的点P1,P2,P3,…,Pn,…,满足
OPn
=an
OA
+bn
OB
(n∈N*)
,其中{an}、{bn}分别为等差数列和等比数列,O为坐标原点,若P1是线段AB的中点.
(Ⅰ)求a1,b1的值;
(Ⅱ)点P1,P2,P3,…,Pn,…能否共线?证明你的结论;
(Ⅲ)证明:对于给定的公差不零的{an},都能找到唯一的一个{bn},使得P1,P2,P3,…,Pn,…,都在一个指数函数的图象上.
分析:(Ⅰ)P1是线段AB的中点
OP1
=
1
2
OA
+
1
2
OB
OP1
=a1
OA
+b1
OB
,且
OA
 ,  
OB
不共线,由平面向量基本定理,能求出a1,b1的值.
(Ⅱ) 由
OPn
=an
OA
+bn
OB
(n∈N*) ⇒ 
OPn
=(an , bn)
,设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则由于P1,P2,P3,…,Pn,…互不相同,所以d=0,q=1不会同时成立;若d=0,则an=a1=
1
2
(n∈N*)
,所以P1,P2,P3,…,Pn,…都在直线x=
1
2
上.由此能求出当d≠0且q≠1时,P1,P2,P3,…,Pn,…不共线. 
(Ⅲ)设Pn(an,bn)都在指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象上,则bn=aan
1
2
qn-1=a
1
2
+(n-1)d
.令n=1,则
1
2
=a
1
2
  ⇒  a=
1
4
,于是,
1
2
qn-1=(
1
4
)
1
2
+(n-1)d
 ⇒q
有唯一解q=(
1
4
)d
.由此能够得到当对于给定的{an},都能找到唯一的一个{bn},使得P1,P2,P3,…,Pn,…,都在指数函数y=(
1
4
)x
的图象上.
解答:解:(Ⅰ)P1是线段AB的中点
OP1
=
1
2
OA
+
1
2
OB
…(1分)
OP1
=a1
OA
+b1
OB
,且
OA
 ,  
OB
不共线,
由平面向量基本定理,知:a1=b1=
1
2
…(3分)
(Ⅱ) 由
OPn
=an
OA
+bn
OB
(n∈N*) ⇒ 
OPn
=(an , bn)

设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则由于P1,P2,P3,…,Pn,…互不相同,所以d=0,q=1不会同时成立; (4分)
若d=0,则an=a1=
1
2
(n∈N*)
,⇒P1,P2,P3,…,Pn,…都在直线x=
1
2
上;           …(5分)
若q=1,则bn=
1
2
为常数列,⇒P1,P2,P3,…,Pn,…都在直线y=
1
2
上;             …(6分)
若d≠0且q≠1,P1,P2,P3,…,Pn,…共线?
Pn-1Pn
=(an-an-1,bn-bn-1)与
PnPn+1
=(an+1-an, bn+1-bn)
共线(n>1,n∈N*)?(an-an-1)(bn+1-bn)-(an+1-an)(bn-bn-1)=0?d(bn+1-bn)-d(bn-bn-1)=0?(bn+1-bn)=(bn-bn-1)?q=1与q≠1矛盾,
∴当d≠0且q≠1时,P1,P2,P3,…,Pn,…不共线.      …(9分)
(Ⅲ)设Pn(an,bn)都在指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象上,则bn=aan
1
2
qn-1=a
1
2
+(n-1)d
(10分)
令n=1,则
1
2
=a
1
2
  ⇒  a=
1
4
,…(11分)
于是,
1
2
qn-1=(
1
4
)
1
2
+(n-1)d
 ⇒q
有唯一解q=(
1
4
)d
,…(13分)
由于d≠0,⇒q≠1,从而满足条件“P1,P2,P3,…,Pn,…互不相同”.
∴当对于给定的{an},都能找到唯一的一个{bn},
使得P1,P2,P3,…,Pn,…,都在指数函数y=(
1
4
)x
的图象上.…(14分)
点评:本题考查数列与解析几何间的关系,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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b
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a
-3
b
|
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2
=
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3
1
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