Question

（2007•深圳一模）已知函数f(x)=x-a

x

+lnx（a为常数）．
（Ⅰ）当a=5时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，令导数等于0，解得x的值，为函数的极值点，列表考查极值点两侧导数的正负，判断极值点处为极大值还是极小值，再求出极值即可．
（Ⅱ）解法1，若f（x）在定义域上是增函数，则f（x）在整个定义域上，导数大于0恒成立，得到含a和x的不等式，根据x的范围求出a的范围即可．
解法2，前面同解法1，先得到含a和x的不等式，把

1

x

看做一个整体，用t表示，则f'（x）可看做关于t的二次函数，即关于t的二次函数图象恒在x轴上方，在判断参数a份额范围．

解答：解：（Ⅰ）a=5时，f(x)=x-5

x

+lnx，∴f′(x)=1-

5

2 x

+

1

x

(x＞0)，=

2x-5 x +2

2x

=

(2 x -1)( x -2)

2x

x	o＜x＜ 1 4	x= 1 4	1 4 ＜x＜4	x=4	x＞4
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值f( 1 4 )	递减	极小值f（4）	递增

∴，f(x)极大=-

9

4

-ln4，f（x）_极小=-6+ln4
（Ⅱ）解法1：∵f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，∴f'（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即1-

a

2 x

+

1

x

≥0(x＞0)…（8分）∴

1

2

a≤

x

+

1

x

又

x

+

1

x

≥2（当且仅当x=1时，

x

+

1

x

=2）∴(

x

+

1

x

)min=2…（13分）∴a∈（-∞，4]
解法2：令t=

1

x

，则：g(t)=f′(x)=1-

a

2

t+t2≥0(t＞0)

a 4 ≤0 g(0)≥0

或      

a 4 ＞0 g( a 4 )≥0

解得，a≤0，或0＜a≤4，
∴a∈（-∞，4]

点评：本题主要考查了应用导数求函数的极值，判断函数的单调性，属于导数的应用．