Question

已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，满足

OPn

=an

OA

+bn

OB

（n∈N^*），其中a_n，b_n分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，P₁是线段AB的中点．
（1）求a₁，b₁的值；
（2）判断点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…能否在同一条直线上，并证明你的结论；
（3）设数列a_n的公差为2，在数列c_n中，c₁=1，c₂=-13，c_n+2-2c_n+1+c_n=a_n（n∈N^*），求出c_n取得最小值时n的值．

Answer 1

分析：（1）由

OPn

=an

OA

+bn

OB

，得P_n（a_n，b_n），又P₁是AB中点，则P1(

1

2

，

1

2

)，即a1=b1=

1

2

．
（2）设数列a_n的公差为d，b_n的公比为q，因为P₁，P₂，P₃，，P_n，是互不相同的点，可得d=0，q=1不会同时成立．当d=0时，点P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直线x=

1

2

上．当q=1时，点P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直线y=

1

2

上．关键是当d≠0，q≠1时，点P₁，P₂，P₃，，P_n，不会在同一条直线上，只要验证P₁，P₂，P₃，不共线即可，
（3）由an=

1

2

+(n-1)×2=2n-

3

2

，可得(cn+2-cn+1)-(cn+1-cn)=2n-

3

2

(n∈N*)，依此累加求解．

解答：解：（1）由

OPn

=an

OA

+bn

OB

，得

OPn

=(an，bn)，即P_n（a_n，b_n），
所以P₁（a₁，b₁），P₁是AB中点，
则P1(

1

2

，

1

2

)，即a1=b1=

1

2

．

（2）设数列a_n的公差为d，b_n的公比为q，因为P₁，P₂，P₃，，P_n，是互不相同的点，
所以，d=0，q=1不会同时成立．
当d=0时，an=a1=

1

2

（n∈N^*），
此时，点P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直线x=

1

2

上．
当q=1时，bn=b1=

1

2

，此时，点P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直线y=

1

2

上．
当d≠0，q≠1时，点P₁，P₂，P₃，，P_n，不会在同一条直线上，
因为P1(

1

2

，

1

2

)，P2(

1

2

+d，

1

2

q)，P3(

1

2

+2d，

1

2

q2)，
所以，kP1P2=

q-1

2d

，kP2P3=

q(q-1)

2d

，
因为q≠1，
所以，kP1P2≠kP2P3，
点P₁，P₂，P₃不会同一条直线上，即点P₁，P₂，P₃，，P_n，不会在同一条直线上．

（3）由已知an=

1

2

+(n-1)×2=2n-

3

2

，(cn+2-cn+1)-(cn+1-cn)=2n-

3

2

(n∈N*)，
所以，(c3-c2)-(c2-c1)=2×1-

3

2

(c4-c3)-(c3-c2)=2×2-

3

2

(cn-cn-1)-(cn-1-cn-2)=2(n-2)-

3

2

(n＞2)
叠加，得cn-cn-1=(c2-c1)+2[1+2++(n-2)]-

3

2

(n-2)=n2-

9

2

n-9(n＞2)，
解c_n-c_n-1≥0，即n2-

9

2

n-9≥0(n＞2)，
得n≥6，
所以，c₂＞c₃＞c₄＞c₅=c₆，c₅=c₆＜c₇＜，结合c₁=1，c₂=-13，c₁＞c₂＞c₃＞c₄＞c₅=c₆，c₅=c₆＜c₇＜，
所以，c_n最小值时n的值为5或6．

点评：本题主要考查知识间的渗透问题，由向量形式和坐标形式的转化，曲线与方程的转化，点的横纵坐标是一个数列用数列知识研究其关系．