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已知点A(1,0),B(0,1)和互不相同的点P1,P2,P3,…,Pn,…,满足
OPn
=an
OA
+bn
OB
(n∈N*)
,O为坐标原点,其中an、bn分别为等差数列和等比数列,若P1是线段AB的中点,设等差数列公差为d,等比数列公比为q,当d与q满足条件
 
时,点P1,P2,P3,…,Pn,…共线.
分析:设数列an的公差为d,bn的公比为q,因为P1,P2,P3,,Pn,是互不相同的点,可得d=0,q=1不会同时成立.当d=0时,点P1,P2,P3,,Pn,均在直线 x=
1
2
上.当q=1时,点P1,P2,P3,,Pn,均在直线 y=
1
2
上.关键是当d≠0,q≠1时,点P1,P2,P3,,Pn,不会在同一条直线上,只要验证P1,P2,P3,不共线即可,
解答:解:设数列an的公差为d,bn的公比为q,因为P1,P2,P3,,Pn,是互不相同的点,
所以,d=0,q=1不会同时成立.
当d=0时,an=a1=
1
2
(n∈N*),
此时,点P1,P2,P3,,Pn,均在直线 x=
1
2
上.
当q=1时,bn=b1=
1
2
,此时,点P1,P2,P3,,Pn,均在直线 y=
1
2
上.
当d≠0,q≠1时,点P1,P2,P3,,Pn,不会在同一条直线上,
因为 P1(
1
2
1
2
)
P2(
1
2
+d,
1
2
q)
P3(
1
2
+2d,
1
2
q2)

所以,kP1P2=
q-1
2d
kP2P3=
q(q-1)
2d

因为q≠1,
所以,kP1P2kP2P3
点P1,P2,P3不会同一条直线上,即点P1,P2,P3,,Pn,不会在同一条直线上.
故答案为:
d=0
q≠1
d≠0
q=1
另一种描述:d=0或q=1且d=0与q=1不同时成立.
点评:本题主要考查知识间的渗透问题,由向量形式和坐标形式的转化,曲线与方程的转化,点的横纵坐标是一个数列用数列知识研究其关系.
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