Question

1．已知函数$f（x）=\frac{lnx}{x+1}-\frac{{2{f^'}（1）}}{x}$．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x＞0且x≠1时，$f（x）＞\frac{lnx}{x-1}+（{a^2}-a-2）$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）$f（x）-\frac{lnx}{x-1}=\frac{1}{{1-{x^2}}}（2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}）$，令$g（x）=2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}$，设$h（x）=f（x）-\frac{lnx}{x-1}=\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}$有最小值b（b＞0），即$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}-b≥0$，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）…（1分）
因为$f'（x）=\frac{{\frac{x+1}{x}-lnx}}{{{{（x+1）}^2}}}+\frac{2f'（1）}{x^2}$，…（2分）
所以$f'（1）=\frac{1}{2}+2f'（1）$，即$f'（1）=-\frac{1}{2}$，
所以$f（x）=\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}$，$f'（x）=\frac{{\frac{x+1}{x}-lnx}}{{{{（x+1）}^2}}}-\frac{1}{x^2}$，…（4分）
令x=1，得f（1）=1，所以函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
$y-1=-\frac{1}{2}（x-1）$，即x+2y-3=0．…（5分）
（2）因为$f（x）-\frac{lnx}{x-1}=\frac{1}{{1-{x^2}}}（2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}）$，…（6分）
令$g（x）=2lnx+\frac{{1-{x^2}}}{x}$，则$g'（x）=\frac{{-{x^2}+2x-1}}{x^2}=-\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x^2}$，
因为x≠1，所以g'（x）＜0，所以g（x）在（0，1），（1，+∞）上为减函数，…（8分）
又因为g（1）=0，所以，当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，此时，$\frac{1}{{1-{x^2}}}•g（x）＞0$；
当0＜x＜1时，g（x）＞g（1）=0，此时，$\frac{1}{{1-{x^2}}}•g（x）＞0$，…（10分）
假设$h（x）=f（x）-\frac{lnx}{x-1}=\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}$有最小值b（b＞0），则h（x）-b≥0，
即$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}-b≥0$．若b＞1，当$x∈（\frac{1}{b}，1）$时，h（x）-b＜0；
若0＜b≤1，当$x∈（\frac{1}{b}，+∞）$时，h（x）-b＜0，所以，不存在正数b，使h（x）≥b．
所以，当x＞0，且x≠1时，$f（x）-\frac{lnx}{x-1}＞0$，所以，a²-a-2≤0，
解得：-1≤a≤2．…（12分）

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．