Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面A₁ADD₁是正方形，M是棱CD的中点，AM与CD₁所成角为θ，若sinθ=

78

9

，则

AA1

AB

的值为（　　）

• A、

  2

• B、

  2 2

  3

• C、

  2

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：取DD₁中点N，连MN，AN，AM与CD₁所成的角就是AM与MN所成角，mh AM与CD₁所成角为θ，sinθ=

78

9

，得cosθ=

3

9

，设AA₁=AD=2a，AB=2b，由余弦定理，能求出

AA1

AB

的值．

解答： 解：取DD₁中点N，连MN，AN，
∵MN平行CD₁，∴AM与CD₁所成的角就是AM与MN所成角，
∵AM与CD₁所成角为θ，sinθ=

78

9

，∴cosθ=

3

9

，
设AA₁=AD=2a，AB=2b
则MN=

a2+b2

，AN=

5a

，AM=

4a2+b2

，
由余弦定理，得：
cos∠AMN=

4a2+b2+a2+b2-5a2

2 a2+b2 • 4a2+b2

=

3 a

9

，
3

3

•b²=

a2+b2

•

4a2+b2

，
两边平方，得：
27b⁴=4a⁴+5a²b²+b⁴，
（a²-2b²）（4a²+13b²）=0，
a²=2b²，
a=

2

b
∴

AA1

AB

=

a

b

=

2

．

点评：本题考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．