Question

1．已知数列{a_n}的首项为1，S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n+1=qS_n+1，其中q＞0，n∈N⁺
（Ⅰ）若a₂，a₃，a₂+a₃成等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$=1的离心率为e_n，且e₂=2，求e₁²+e₂²+…+e_n²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式可得a₂与a₃的值，又由a₂，a₃，a₂+a₃成等差数列，可得2a₃=a₂+（a₂+a₃），代入a₂与a₃的值可得q²=2q，解可得q的值，进而可得S_n+1=2S_n+1，进而可得S_n=2S_n-1+1，将两式相减可得a_n=2a_n-1，即可得数列{a_n}是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意S_n+1=qS_n+1，同理有S_n=qS_n-1+1，将两式相减可得a_n=qa_n-1，分析可得a_n=q^n-1；又由双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$=1的离心率为e_n，且e₂=2，分析可得e₂=$\sqrt{1+{a}_{{2}^{2}}}$=2，
解可得a₂的值，由a_n=q^n-1可得q的值，进而可得数列{a_n}的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得e_n²=1+a_n²=1+3^n-1，运用分组求和法计算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，数列{a_n}的首项为1，即a₁=1，
又由S_n+1=qS_n+1，则S₂=qa₁+1，则a₂=q，
又有S₃=qS₂+1，则有a₃=q²，
若a₂，a₃，a₂+a₃成等差数列，即2a₃=a₂+（a₂+a₃），
则可得q²=2q，（q＞0），
解可得q=2，
则有S_n+1=2S_n+1，①
进而有S_n=2S_n-1+1，②
①-②可得a_n=2a_n-1，
则数列{a_n}是以1为首项，公比为2的等比数列，
则a_n=1×2^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）根据题意，有S_n+1=qS_n+1，③
同理可得S_n=qS_n-1+1，④
③-④可得：a_n=qa_n-1，
又由q＞0，
则数列{a_n}是以1为首项，公比为q的等比数列，则a_n=1×q^n-1=q^n-1；
若e₂=2，则e₂=$\sqrt{1+{a}_{{2}^{2}}}$=2，
解可得a₂=$\sqrt{3}$，
则a₂=q=$\sqrt{3}$，即q=$\sqrt{3}$，
a_n=1×q^n-1=q^n-1=（$\sqrt{3}$）^n-1，
则e_n²=1+a_n²=1+3^n-1，
故e₁²+e₂²+…+e_n²=n+（1+3+3²+…+3^n-1）=n+$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

点评 本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．