Question

10．设函数f（x）=（x-1）³-ax-b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x₀，且f（x₁）=f（x₀），其中x₁≠x₀，求证：x₁+2x₀=3；
（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）f′（x₀）=0，可得3（x₀-1）²=a，分别计算f（x₀），f（3-2x₀），化简整理即可得证；
（3）要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于$\frac{1}{4}$，即证在[0，2]上存在x₁，x₂，使得f（x1）-f（x₂）≥$\frac{1}{2}$．讨论当a≥3时，当0＜a＜3时，运用单调性和极值，化简整理即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=（x-1）³-ax-b的导数为
f′（x）=3（x-1）²-a，
当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；
当a＞0时，当x＞1+$\sqrt{\frac{a}{3}}$或x＜1-$\sqrt{\frac{a}{3}}$时，f′（x）＞0，
当1-$\sqrt{\frac{a}{3}}$＜x＜1+$\sqrt{\frac{a}{3}}$，f′（x）＜0，
可得f（x）的增区间为（-∞，1-$\sqrt{\frac{a}{3}}$），（1+$\sqrt{\frac{a}{3}}$，+∞），减区间为（1-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，1+$\sqrt{\frac{a}{3}}$）；
（2）证明：f′（x₀）=0，可得3（x₀-1）²=a，
由f（x₀）=（x₀-1）³-3x₀（x₀-1）²-b=（x₀-1）²（-2x₀-1）-b，
f（3-2x₀）=（2-2x₀）³-3（3-2x₀）（x₀-1）²-b
=（x₀-1）²（8-8x₀-9+6x₀）-b=（x₀-1）²（-2x₀-1）-b，
即为f（3-2x₀）=f（x₀）=f（x₁），
即有3-2x₀=x₁，即为x₁+2x₀=3；
（3）证明：要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于$\frac{1}{4}$，
即证在[0，2]上存在x₁，x₂，使得f（x₁）-f（x₂）≥$\frac{1}{2}$．
当a≥3时，f（x）在[0，2]递减，f（2）=1-2a-b，f（0）=-1-b，
f（0）-f（2）=2a-2≥4＞$\frac{1}{2}$，递减，成立；
当0＜a＜3时，f（1-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）³-a（1-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）-b=-$\frac{a}{3}$$\sqrt{\frac{a}{3}}$-a+a$\sqrt{\frac{a}{3}}$-b
=$\frac{2a}{3}$$\sqrt{\frac{a}{3}}$-a-b，
f（1+$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=（$\sqrt{\frac{a}{3}}$）³-a（1+$\sqrt{\frac{a}{3}}$）-b=$\frac{a}{3}$$\sqrt{\frac{a}{3}}$-a-a$\sqrt{\frac{a}{3}}$-b
=-$\frac{2a}{3}$$\sqrt{\frac{a}{3}}$-a-b，
f（2）=1-2a-b，f（0）=-1-b，
f（2）-f（0）=2-2a，
若0＜a≤$\frac{3}{4}$时，f（2）-f（0）=2-2a≥$\frac{1}{2}$成立；
若a＞$\frac{3}{4}$时，f（1-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）-f（1+$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=$\frac{4a}{3}$$\sqrt{\frac{a}{3}}$＞$\frac{1}{2}$成立．
综上可得，g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和最值，考查不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法的证明，以及化简整理的运算能力，属于难题．