Question

3．已知函数f（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$）+sinx．
（1）利用“五点法”列表，并画出f（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]上的图象；
（2）a，b，c分别是锐角△ABC中角A，B，C的对边．若a=$\sqrt{3}$，f（A）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求△ABC面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x），利用“五点法”列表、画出f（x）在$[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}]$上的图象即可；
（2）利用正弦定理，结合三角函数的恒等变换与角的取值范围，即可求出三角形面积S的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$）+sinx
=cosxcos$\frac{π}{6}$-sinxsin$\frac{π}{6}$+sinx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$sinx
=sin（x+$\frac{π}{3}$），
利用“五点法”列表如下，

x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$-\frac{π}{3}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$	$\frac{5π}{3}$
y	0	1	0	-1	0

画出f（x）在$[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}]$上的图象，如图所示；
（6分）
（2）在△ABC中，a=$\sqrt{3}$，
f（A）=sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可知A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，或A+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，
解得A=0或A=$\frac{π}{3}$，
故A=$\frac{π}{3}$；
由正弦定理可知$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2，
即b=2sinB，c=2sinC，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\sqrt{3}$sinBsinC=$\sqrt{3}$sinBsin（$\frac{2π}{3}$-B），
∴S=$\sqrt{3}$sinB（sin$\frac{2π}{3}$cosB-cos$\frac{2π}{3}$sinB）
=$\frac{3}{2}$sinBcosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin²B
=$\frac{3}{4}$sin2B-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2B+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，其中$0＜B＜\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$
-$\frac{1}{2}$＜sin（2B-$\frac{π}{6}$）≤1
∴0＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2B-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$
因此S的取值范围是$（0，\frac{{3\sqrt{3}}}{4}]$．（12分）

点评 本题考查了利用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象的应用问题，也考查了三角恒等变换和正弦定理的应用问题，是综合性题目．