Question

8．双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，直线l过F₂且与双曲线交于A，B两点．
（1）直线l的倾斜角为$\frac{π}{2}$，△F₁AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b=$\sqrt{3}$，若l的斜率存在，且（$\overrightarrow{{F}_{1}A}$+$\overrightarrow{{F}_{1}B}$）•$\overrightarrow{AB}$=0，求l的斜率．

Answer 1

分析 （1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程．
（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．

解答 解：（1）双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，a=1，c²=1+b²，
直线l过F₂且与双曲线交于A，B两点，
直线l的倾斜角为$\frac{π}{2}$，△F₁AB是等边三角形，
可得：A（c，b²），可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}•2{b}^{2}=2c$，
3b⁴=4（a²+b²），
即3b⁴-4b²-4=0，
b＞0，解得b²=2．
所求双曲线方程为：x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
其渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x．
（2）b=$\sqrt{3}$，双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得F₁（-2，0），F₂（2，0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线的斜率为：k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
直线l的方程为：y=k（x-2），
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2k}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y可得：（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
△=36（1+k²）＞0，
可得x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$，
则y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=k（$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$-4）=$\frac{12k}{{k}^{2}-3}$．
$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=（x₁+2，y₁），
$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（x₂+2，y₂），
（$\overrightarrow{{F}_{1}A}$+$\overrightarrow{{F}_{1}B}$）•$\overrightarrow{AB}$=0可得：（x₁+x₂+4，y₁+y₂）•（x₁-x₂，y₁-y₂）=0，
可得x₁+x₂+4+（y₁+y₂）k=0，
得$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}-3}$+4+$\frac{12k}{{k}^{2}-3}$•k=0
可得：k²=$\frac{3}{5}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
l的斜率为：±$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用．