Question

3．在（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于112．

Answer 1

分析 根据展开式中所有二项式系数的和等于2ⁿ=256，求得 n=8．在展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．

解答 解：∵在（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{x}$）ⁿ的二项式中，所有的二项式系数之和为256，
∴2ⁿ=256，解得n=8，
∴（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{x}$）⁸中，T_r+1=${C}_{8}^{r}（\root{3}{x}）^{8-r}（-\frac{2}{x}）^{r}$=$（-2）^{r}{C}_{8}^{r}{x}^{\frac{8-4r}{3}}$，
∴当$\frac{8-4r}{3}$=0，即r=2时，常数项为T₃=（-2）²${C}_{8}^{2}$=112．
故答案为：112．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．