Question

20．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线E：x²=2y的焦点F是C的一个顶点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S₁，△PDM的面积为S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值及取得最大值时点P的坐标．

Answer 1

分析 （I）运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）（i）设P（x₀，y₀），运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点D的坐标，求得OD的方程，再令x=x₀，可得y=-$\frac{1}{4}$．进而得到定直线；
（ii）由直线l的方程为y=x₀x-y₀，令x=0，可得G（0，-y₀），运用三角形的面积公式，可得S₁=$\frac{1}{2}$|FG|•|x₀|=$\frac{1}{2}$x₀•（$\frac{1}{2}$+y₀），S₂=$\frac{1}{2}$|PM|•|x₀-$\frac{4{x}_{0}{y}_{0}}{1+4{{x}_{0}}^{2}}$|，化简整理，再1+2x₀²=t（t≥1），整理可得t的二次方程，进而得到最大值及此时P的坐标．

解答 解：（I）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线E：x²=2y的焦点F为（0，$\frac{1}{2}$），
即有b=$\frac{1}{2}$，a²-c²=$\frac{1}{4}$，
解得a=1，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得椭圆的方程为x²+4y²=1；
（Ⅱ）（i）证明：设P（x₀，y₀），可得x₀²=2y₀，
由y=$\frac{1}{2}$x²的导数为y′=x，即有切线的斜率为x₀，
则切线的方程为y-y₀=x₀（x-x₀），
可化为y=x₀x-y₀，代入椭圆方程，
可得（1+4x₀²）x²-8x₀y₀x+4y₀²-1=0，
△=64x₀²y₀²-4（1+4x₀²）（4y₀²-1）＞0，可得1+4x₀²＞4y₀²．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{8{x}_{0}{y}_{0}}{1+4{{x}_{0}}^{2}}$，即有中点D（$\frac{4{x}_{0}{y}_{0}}{1+4{{x}_{0}}^{2}}$，-$\frac{{y}_{0}}{1+4{{x}_{0}}^{2}}$），
直线OD的方程为y=-$\frac{1}{4{x}_{0}}$x，可令x=x₀，可得y=-$\frac{1}{4}$．
即有点M在定直线y=-$\frac{1}{4}$上；
（ii）直线l的方程为y=x₀x-y₀，令x=0，可得G（0，-y₀），
则S₁=$\frac{1}{2}$|FG|•|x₀|=$\frac{1}{2}$x₀•（$\frac{1}{2}$+y₀）=$\frac{1}{4}$x₀（1+x₀²）；
S₂=$\frac{1}{2}$|PM|•|x₀-$\frac{4{x}_{0}{y}_{0}}{1+4{{x}_{0}}^{2}}$|=$\frac{1}{2}$（y₀+$\frac{1}{4}$）•$\frac{{x}_{0}+4{{x}_{0}}^{3}-4{x}_{0}{y}_{0}}{1+4{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{1}{8}$x₀•$\frac{（1+2{{x}_{0}}^{2}）^{2}}{1+4{{x}_{0}}^{2}}$，
则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{2（1+{{x}_{0}}^{2}）（1+4{{x}_{0}}^{2}）}{（1+2{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$，
令1+2x₀²=t（t≥1），则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{2（1+\frac{t-1}{2}）（1+2t-2）}{{t}^{2}}$=$\frac{（t+1）（2t-1）}{{t}^{2}}$
=$\frac{2{t}^{2}+t-1}{{t}^{2}}$=2+$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$=-（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
则当t=2，即x₀=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$取得最大值$\frac{9}{4}$，
此时点P的坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题．