Question

10．已知函数f（x）=2cosωx（ω＞0），且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{8}$）的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由已知可求周期，利用周期公式可求ω，从而确定函数解析式，进而利用特殊角的三角函数值即可计算得解．
（2）第一次变换得到函数y=ccos（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，第二次变换得到得到函数y=cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）的图象，利用余弦函数的图象和性质即可得出结论．

解答 解：（1）∵函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，可得：T=2×$\frac{π}{2}$=$\frac{2π}{ω}$，ω＞0，
∴ω=2，f（x）=2cos2x，
∴f（$\frac{π}{8}$）=2cos（2×$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$．
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度后得到函数y=2cos2（x-$\frac{π}{6}$）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=2cos（2•$\frac{1}{4}$x-$\frac{π}{3}$）
=2cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）的图象，
故g（x）=cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$），
令2kπ≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈z，求得4kπ+$\frac{2π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{8π}{3}$，k∈z，
所以g（x）的单调递减区间为[4kπ+$\frac{2π}{3}$，4kπ+$\frac{8π}{3}$]，k∈z．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，考查了余弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．