Question

18．已知数列{α_n}的前n项和为n²+pn．数列{b_n}的前n项和为32n-n²．
（1）若α₁₀=b₁₀，求p的值；
（2）取数列{b_n}的第1项．第3项．第5项…构成-个新的数列{c_n}，求数列{c_n}的通项公式；
（3）设d_n=|c_n|．求数列{d_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）分别根据数列{α_n}的前n项和为n²+pn．数列{b_n}的前n项和为32n-n²，得到数列{α_n}和数列{b_n}的通项公式，再根据α₁₀=b₁₀，代值计算即可；
（2）由数列{b_n}是以31为首项，以-2为公差的等差数列，可知数列{c_n}是以31为首项，以-4为公差的等差数列，即可求出通项公式，
（3）先判断c_n从第几项小于0，再分类求出数列{d_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵数列{α_n}的前n项和为n²+pn，
∴α_n=n²+pn-（n-1）²-p（n-1）=2n+p-1，
∵数列{b_n}的前n项和为32n-n²，
∴b_n=32n-n²-32（n-1）+（n-1）²=-2n+33，
∵α₁₀=b₁₀，
∴2×10+p-1=-2×10+33，
∴p=-6，
（2）由（1）可知，b_n=-2（n-1）+31，
当n=1时，b₁=31，
即数列{b_n}是以31为首项，以-2为公差的等差数列，
∵取数列{b_n}的第1项．第3项．第5项…构成-个新的数列{c_n}，
∴数列{c_n}是以31为首项，以-4为公差的等差数列，
∴c_n=31-4（n-1）=-4n+35，
（3）由（2）可知当c_n=-4n+35＞0时，解得n≤8，
当c_n=-4n+35＜0时，解得n≥9，
∵d_n=|c_n|，
∴n≤8时，T_n=31+27+…+（-4n+35）=$\frac{n（31+35-4n）}{2}$=-2n²+33n
当n≥9时，T_n=31+27+…+3+|-1|+|-5|+…+|-4n+35|=（31+27+…+3）+（1+5+…+4n-35）=$\frac{8（31+3）}{2}$+$\frac{（n-8）（1+4n-35）}{2}$=2n²-33n+272，
综上所述T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}+33n，n≤8}\\{2{n}^{2}-33n+272，n≥9}\end{array}\right.n∈N*$

点评 本题考查了数列的递推公式和等差的数列的定义以及性质和前n项和公式，属于中档题．