Question

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且8sin²$\frac{A+B}{2}$-2cos2C=7．
（1）求tanC的值；
（2）若c=$\sqrt{3}$，sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角的余弦公式，化简整理可得cosC=$\frac{1}{2}$，求得C，即可得到所求tanC的值；
（2）运用正弦定理可得b=2a，再由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，解方程即可得到a，b的值．

解答 解：（1）由8sin²$\frac{A+B}{2}$-2cos2C=7，可得
4（1-cos（A+B））-2（2cos²C-1）-7=0，
即为4cosC-4cos²C-1=0，
即有（2cosC-1）²=0，可得cosC=$\frac{1}{2}$，
由0＜C＜π，可得C=$\frac{π}{3}$，tanC=$\sqrt{3}$；
（2）由正弦定理，可得
sinB=2sinA，即为b=2a，①
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
即为3=a²+b²-ab，②
将①代入②可得3a²=3，
解得a=1，b=2．

点评 本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，同时考查二倍角的余弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．