Question

13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=$\frac{a^2}{4}$，求角A的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B
（Ⅱ）若△ABC的面积S=$\frac{a^2}{4}$，则$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{a^2}{4}$，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．

解答 （Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
∴sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）
∵A，B是三角形中的角，
∴B=A-B，
∴A=2B；
（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=$\frac{a^2}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{a^2}{4}$，
∴2bcsinA=a²，
∴2sinBsinC=sinA=sin2B，
∴sinC=cosB，
∴B+C=90°，或C=B+90°，
∴A=90°或A=45°．

点评 本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．