Question

2．数列{a_n}是递增的等差数列，已知a₉=5，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{n{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）用a₁和d表示出各项，根据条件列方程组解出a₁和d，得出通项公式；
（2）求出b_n，利用裂项求和计算．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+8d=5}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+6d）=（{a}_{1}+2d）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴{a_n}的通项公式为a_n=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{2}$．
（2）b_n=$\frac{1}{n{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）．
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{n}{2n+2}$．

点评 本题考查了等差数列的性质，裂项法数列求和，属于中档题．