Question

12．在△ABC中，sinA=$\frac{33}{65}$，cosC=$\frac{4}{5}$．
（1）求cosB的值；
（2）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=56，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的余弦公式进行化简求解即可．
（2）根据平面向量数量积的公式，进行转化，结合余弦定理正弦定理进行转化求解即可．

解答 解：（1）∵在△ABC中，sinA=$\frac{33}{65}$，cosC=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sinA＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosC＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$＜A＜$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{4}$＜C＜$\frac{π}{3}$，
则$\frac{π}{3}$＜A+C＜$\frac{2π}{3}$或π＜A+C＜$\frac{7π}{6}$（不成立，舍去），
则$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$＜C＜$\frac{π}{3}$，
∴cosA=$\sqrt{1-（\frac{33}{65}）^{2}}$=$\frac{56}{65}$，sinC=$\frac{3}{5}$，
则cosB=-cos（A+C）=-（cosAcosC-sinAsinC）=sinAsinCcosAcosC=$\frac{3}{5}$×$\frac{33}{65}$-$\frac{56}{65}$×$\frac{4}{5}$=-$\frac{5}{13}$
（2）∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=56，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|•$\frac{56}{65}$=56，
则|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=65，
设AB=c，AC=b，BC=a，
则bc=65，
∵cosB=-$\frac{5}{13}$，∴sinB=$\frac{12}{13}$．
由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，即$\frac{b}{\frac{12}{13}}=\frac{c}{\frac{3}{5}}$，
则b=$\frac{20}{13}$c，得c=$\frac{13}{2}$，b=10，
则a²=b²+c²-2bccosA=100+（$\frac{13}{2}$）²-2×10×$\frac{13}{2}$×$\frac{56}{65}$=$\frac{169}{4}-12$=$\frac{121}{4}$，
则a=$\frac{11}{2}$，
即BC=$\frac{11}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数值的计算和求解，根据向量数量积的公式以及正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．注意要根据三角函数值的范围判断角的取值范围．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．