Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin2x，cos2x），$\overrightarrow{b}$=（cosφ，sinφ），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$（-π＜φ＜0）且y=f（x）的图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$．
（1）求φ的值和f（x）的最小正周期；
（2）求函数y=f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的坐标运算和三角恒等变换求出函数f（x），再根据f（x）图象的对称轴求出φ的值，即可得出结论；
（2）根据正弦函数的单调性，即可求出函数y=f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（sin2x，cos2x），$\overrightarrow{b}$=（cosφ，sinφ），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin（2x+φ）；
又y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{8}$，
∴2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得φ=kπ+$\frac{π}{4}$；
又-π＜φ＜0，
∴φ=-$\frac{3π}{4}$，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{3π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）函数y=f（x）=sin（2x-$\frac{3π}{4}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{3π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{5π}{8}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了平面向量的数量积与三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．