Question

8．在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用等腰三角形的性质，证得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面EFBD，从而证得AC⊥FB．
（Ⅱ）再取CF的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥平面ABC，从而证得GH∥平面ABC．

解答 （Ⅰ）证明：如图所示，∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC，
∴△BAC、△EAC都是等腰三角形，
∴BD⊥AC，ED⊥AC．
∵EF∥DB，∴E、F、B、D四点共面，这样，
AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD，
∴AC⊥平面EFBD．
显然，FB?平面EFBD，∴AC⊥FB．
（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，
则OG∥EF，∵OG∥BD，
∴OG∥BD，而BD?平面ABC，∴OG∥平面ABC．
同理，OH∥BC，而BC?平面ABC，∴OH∥平面ABC．
∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．

点评 本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属于中档题．