Question

18．设函数f（x）=x³+ax²+bx+c．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；
（3）求证：a²-3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；
（2）由f（x）=0，可得-c=x³+4x²+4x，由g（x）=x³+4x²+4x，求得导数，单调区间和极值，由-c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；
（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a²-3b＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a²-3b＞0，不能推出f（x）有3个零点．

解答 解：（1）函数f（x）=x³+ax²+bx+c的导数为f′（x）=3x²+2ax+b，
可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，
切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；
（2）设a=b=4，即有f（x）=x³+4x²+4x+c，
由f（x）=0，可得-c=x³+4x²+4x，
由g（x）=x³+4x²+4x的导数g′（x）=3x²+8x+4=（x+2）（3x+2），
当x＞-$\frac{2}{3}$或x＜-2时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当-2＜x＜-$\frac{2}{3}$时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有g（x）在x=-2处取得极大值，且为0；
g（x）在x=-$\frac{2}{3}$处取得极小值，且为-$\frac{32}{27}$．
由函数f（x）有三个不同零点，可得-$\frac{32}{27}$＜-c＜0，
解得0＜c＜$\frac{32}{27}$，
则c的取值范围是（0，$\frac{32}{27}$）；
（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，
可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点．
即有f（x）有3个单调区间，
即为导数f′（x）=3x²+2ax+b的图象与x轴有两个交点，
可得△＞0，即4a²-12b＞0，即为a²-3b＞0；
若a²-3b＞0，即有导数f′（x）=3x²+2ax+b的图象与x轴有两个交点，
当c=0，a=b=4时，满足a²-3b＞0，
即有f（x）=x（x+2）²，图象与x轴交于（0，0），（-2，0），则f（x）的零点为2个．
故a²-3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判断，注意运用导数求得极值，考考查化简整理的能力，属于中档题．