Question

13．已知O为坐标原点，A（3，4），点p（x，y）满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{x-y-1≤0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，则|$\overrightarrow{OP}$|cos∠AOP的最大值是$\frac{11}{5}$．

Answer 1

分析 作出可行域，根据向量投影的定义判断最优解的位置，计算最优解，代入投影公式计算．

解答 解：作出约束条件表示的可行域如图所示：

∵k_OA=$\frac{4}{3}$，k_BC=-1，
∴当P点与B点重合时，$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影最大，即|$\overrightarrow{OP}$|cos∠AOP最大．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=3}\end{array}\right.$得B（1，2）．
∴$\overrightarrow{OP}$=（1，2），$\overrightarrow{OA}$=（3，4），$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}$=11．
∴|$\overrightarrow{OP}$|cos∠AOP=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{11}{5}$．
故答案为：$\frac{11}{5}$．

点评 本题考查了向量的投影，简单线性规划，借助几何意义判断最优解是关键．