Question

1．已知函数y=x+$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象（如图所示），你能说出这个函数在哪个区间为单调函数吗？请证明你的结论．

Answer 1

分析 利用基本不等式求得且仅当x=$\frac{2}{x}$时，函数y取得最小值，从而求得函数的单调区间，再利用单调性与导数的关系进行证明．

解答 解：∵函数y=x+$\frac{2}{x}$（x＞0），∴y≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当x=$\frac{2}{x}$时，取等号，
故函数y在（0，$\sqrt{2}$）上单调递减，在（$\sqrt{2}$，+∞）上单调递增．
证明：在（0，$\sqrt{2}$）上，∵y′=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$＜0，故函数y=x+$\frac{2}{x}$（x＞0）在（0，$\sqrt{2}$）上单调递减．
在（$\sqrt{2}$，+∞）上，∵y′=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0，故函数y=x+$\frac{2}{x}$（x＞0）在（$\sqrt{2}$，+∞）上单调递增．

点评 本题主要考查基本不等式，函数的单调性的判断和证明，单调性与导数的关系，属于中档题．