Question

8．如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．
（1）求证：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O-EF-C的正弦值；
（3）设H为线段AF上的点，且AH=$\frac{2}{3}$HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF；
（2）建立如图所示的坐标系O-xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O-EF-C的正弦值；
（3）求出$\overrightarrow{BH}$=（-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，$\sqrt{2}$，$\frac{4}{5}$），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF所成角的正弦值．

解答 （1）证明：取AD的中点I，连接FI，
∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，
∵G，I是中点，
∴GI∥BD，GI=$\frac{1}{2}$BD．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD．
∴EF∥GI，EF=GI，
∴四边形EFIG是平行四边形，
∴EG∥FI，
∵EG?平面ADF，FI?平面ADF，
∴EG∥平面ADF；
（2）解：建立如图所示的坐标系O-xyz，则B（0，-$\sqrt{2}$，0），C（$\sqrt{2}$，0，0），E（0，-$\sqrt{2}$，2），
F（0，0，2），
设平面CEF的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}y=0}\\{-\sqrt{2}x+2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，0，1）
∵OC⊥平面OEF，
∴平面OEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∵|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴二面角O-EF-C的正弦值为$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）解：AH=$\frac{2}{3}$HF，∴$\overrightarrow{AH}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，0，$\frac{4}{5}$）．
设H（a，b，c），则$\overrightarrow{AH}$=（a+$\sqrt{2}$，b，c）=（$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，0，$\frac{4}{5}$）．
∴a=-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，b=0，c=$\frac{4}{5}$，
∴$\overrightarrow{BH}$=（-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，$\sqrt{2}$，$\frac{4}{5}$），
∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜$\overrightarrow{BH}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|-\frac{6}{5}+\frac{4}{5}|}{\sqrt{3}•\frac{2\sqrt{21}}{5}}$=$\frac{\sqrt{7}}{21}$．

点评 本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角O-EF-C的正弦值，直线BH和平面CEF所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．