Question

19．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
?①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．
?②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
?③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是②③．

Answer 1

分析 根据“伴随点”的定义，分别进行判断即可，对应不成立的命题，利用特殊值法进行排除即可．

解答 解：①设A（0，1），则A的“伴随点”为A′（1，0），
而A′（1，0）的“伴随点”为（0，-1），不是A，故①错误，
②若点在单位圆上，则x²+y²=1，
即P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（y，-x），
满足y²+（-x）²=1，即P′也在单位圆上，故②正确，
③若两点关于x轴对称，设P（x，y），对称点为Q（x，-y），
则Q（x，-y）的“伴随点”为Q′（-$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$），
则Q′（-$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$）与P′（$\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$，$\frac{-x}{{x}^{2}+{y}^{2}}$）关于y轴对称，故③正确，
④∵（-1，1），（0，1），（1，1）三点在直线y=1上，
∴（-1，1）的“伴随点”为（$\frac{1}{1+1}$，$\frac{1}{1+1}$），即（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
（0，1）的“伴随点”为（1，0），（1，1的“伴随点”为（$\frac{1}{1+1}$，-$\frac{1}{1+1}$），即（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
则（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），（1，0），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）三点不在同一直线上，故④错误，
故答案为：②③

点评 本题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力．