Question

14．已知正三角形ABC的边长为2$\sqrt{3}$，平面ABC内的动点P，M满足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，则|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值是（　　）

• A． $\frac{43}{4}$
• B． $\frac{49}{4}$
• C． $\frac{37+6\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{37+2\sqrt{33}}{4}$

Answer 1

分析 如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C$（2\sqrt{3}，0）$．A$（\sqrt{3}，3）$．点P的轨迹方程为：$（x-\sqrt{3}）^{2}+（y-3）^{2}$=1，令x=$\sqrt{3}$+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，可得M$（\frac{3}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}cosθ，\frac{3}{2}+\frac{1}{2}sinθ）$，代入|$\overrightarrow{BM}$|²=$\frac{37}{4}$+3sin$（θ+\frac{π}{3}）$，即可得出．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系．
B（0，0），C$（2\sqrt{3}，0）$．
A$（\sqrt{3}，3）$．
∵M满足|$\overrightarrow{AP}$|=1，
∴点P的轨迹方程为：$（x-\sqrt{3}）^{2}+（y-3）^{2}$=1，
令x=$\sqrt{3}$+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．
又$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，则M$（\frac{3}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}cosθ，\frac{3}{2}+\frac{1}{2}sinθ）$，
∴|$\overrightarrow{BM}$|²=$（\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}cosθ）^{2}$+$（\frac{3}{2}+\frac{1}{2}sinθ）^{2}$=$\frac{37}{4}$+3sin$（θ+\frac{π}{3}）$≤$\frac{49}{4}$．
∴|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值是$\frac{49}{4}$．
也可以以点A为坐标原点建立坐标系．
故选：B．

点评 本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．