Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）方法一、设椭圆上点P（x₀，y₀），可得x₀²+4y₀²=4，求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值4．
方法二、设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN|•|BM|为定值4．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又△OAB的面积为1，可得$\frac{1}{2}$ab=1，
且a²-b²=c²，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
可得椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）证法一：设椭圆上点P（x₀，y₀），
可得x₀²+4y₀²=4，
直线PA：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），令x=0，可得y=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
则|BM|=|1+$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$|；
直线PB：y=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，令y=0，可得x=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，
则|AN|=|2+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$|．
可得|AN|•|BM|=|2+$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$|•|1+$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$|
=|$\frac{（{x}_{0}+2{y}_{0}-2）^{2}}{（{x}_{0}-2）（{y}_{0}-1）}$|=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}+4{{y}_{0}}^{2}+4+4{x}_{0}{y}_{0}-4{x}_{0}-8{y}_{0}}{2+{x}_{0}{y}_{0}-{x}_{0}-2{y}_{0}}$|
=|$\frac{8+4{x}_{0}{y}_{0}-4{x}_{0}-8{y}_{0}}{2+{x}_{0}{y}_{0}-{x}_{0}-2{y}_{0}}$|=4，
即有|AN|•|BM|为定值4．
证法二：设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
直线PA：y=$\frac{sinθ}{2cosθ-2}$（x-2），令x=0，可得y=-$\frac{sinθ}{cosθ-1}$，
则|BM|=|$\frac{sinθ+cosθ-1}{1-cosθ}$|；
直线PB：y=$\frac{sinθ-1}{2cosθ}$x+1，令y=0，可得x=-$\frac{2cosθ}{sinθ-1}$，
则|AN|=|$\frac{2sinθ+2cosθ-2}{1-sinθ}$|．
即有|AN|•|BM|=|$\frac{2sinθ+2cosθ-2}{1-sinθ}$|•|$\frac{sinθ+cosθ-1}{1-cosθ}$|
=2|$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ+1+2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ}{1+sinθcosθ-sinθ-cosθ}$|
=2|$\frac{2+2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ}{1+sinθcosθ-sinθ-cosθ}$|=4．
则|AN|•|BM|为定值4．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和基本量的关系，考查线段积的定值的求法，注意运用直线方程和点满足椭圆方程，考查化解在合理的运算能力，属于中档题．