Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{n}+1}$（n∈N^*），则a₂₀₁₃等于（　　）

• A． 1
• B． -$\sqrt{3}$+2
• C． -$\sqrt{3}$-2
• D． $\sqrt{3}$-2

Answer 1

分析 利用递推公式求出该数列的前4项，从而得到数列{a_n}是以3为周期的周期数列，由此能求出a₂₀₁₃．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}{a}_{n}+1}$（n∈N^*），
∴a₂=$\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}-2$，
a₃=$\frac{\sqrt{3}-2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}（\sqrt{3}-2）+1}$=$\frac{1}{\sqrt{3}-2}$=-$\sqrt{3}-2$，
a₄=$\frac{-\sqrt{3}-2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}（-\sqrt{3}-2）+1}$=1，
∴数列{a_n}是以3为周期的周期数列，
又2013=671×3，
∴a₂₀₁₃=a₃=-$\sqrt{3}-2$．
故选：C．

点评 本题考查数列的第2013项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．