Question

10．已知f（x）=2ln（x+2）-（x+1）²，g（x）=k（x+1）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当k=2时，求证：对于?x＞-1，f（x）＜g（x）恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出定义域和导数f′（x），令f′（x）＞0，解出增区间，令f′（x）＜0，解出减区间；
（2）令H（x）=f（x）-g（x），利用导数判断出H（x）的单调性和单调区间，得出H（x）的最大值，证明H_max（x）＜0即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（-2，+∞）．
f′（x）=$\frac{2}{x+2}$-2（x+1）=$\frac{-2（x+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{5}{2}}{x+2}$．
令f′（x）＞0，即-2（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{5}{2}$＞0，解得-2＜x＜$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$，
令f′（x）＜0，即-2（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{5}{2}$＜0，解得x＞$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$．
∴f（x）的单调增区间是（-2，$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$），单调减区间是（$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$，+∞）．
（2）当k=2时，g（x）=2（x+1）．
令H（x）=f（x）-g（x）=2ln（x+2）-（x+1）²-2（x+1）．
H′（x）=$\frac{2}{x+2}$-2（x+1）-2=$\frac{-2{x}^{2}-8x-6}{x+2}$，
令H′（x）=0，即-2x²-8x-6=0，解得x=-1或x=-3（舍）．
∴当x＞-1时，H′（x）＜0，H（x）在（-1，+∞）上单调递减．
∴H_max（x）=H（-1）=0，
∴对于?x＞-1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题的证明，属于中档题．