Question

15．设n（S）表示集合S中元素的个数，定义A•B=$\left\{\begin{array}{l}{n（A），n（A）≥n（B）}\\{n（B），n（A）＜n（B）}\end{array}\right.$，已知A={x||x-a|=1}，B={x||x²-2x-3|=a-1}，若A•B=2，则实数a的范围（-∞，1]∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 化简集合A，可得n（A）=2，作出函数y=|x²-2x-3|的图象，讨论a＜1，a=1，1＜a＜5，a=5，a＞5，即可得到集合B的个数，进而得到所求a的范围．

解答 解：A={x||x-a|=1}={a-1，a+1}，可得n（A）=2，
作出函数y=|x²-2x-3|的图象，可得
当a-1＜0，即a＜1，方程|x²-2x-3|=a-1无实数解，n（B）=0；
当a-1=0，即a=1，方程|x²-2x-3|=a-1的解为-1，3，n（B）=2；
当0＜a-1＜4，即1＜a＜5时，方程|x²-2x-3|=a-1解的个数为4，
n（B）=4；
当a-1=4，即a=5时，方程|x²-2x-3|=a-1解的个数为3，n（B）=3；
当a-1＞4，即a＞5时，方程|x²-2x-3|=a-1解的个数为2，n（B）=2．
由A•B=2，可得a＞5或a≤1．
故答案为：（-∞，1]∪（5，+∞）．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查数形结合的思想方法，以及分类讨论的思想方法，考查转化思想，属于中档题．