Question

10．在数列{a_n}中，a_n＞0，其前n项和S_n满足S_n²-（n²+2n-1）S_n-（n²+2n）=0．
（Ⅰ） 求{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ） 若b_n=$\frac{{a}_{n}-5}{{2}^{n}}$，求b₂+b₄+…+b_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把已知数列递推式变形，求得${S}_{n}={n}^{2}+2n$，得到数列首项，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入b_n=$\frac{{a}_{n}-5}{{2}^{n}}$，得到b_2n，再由错位相减法求得b₂+b₄+…+b_2n．

解答 解：（Ⅰ）由S_n²-（n²+2n-1）S_n-（n²+2n）=0，得[${S}_{n}-（{n}^{2}+2n）$]（S_n+1）=0，
由a_n＞0，可知S_n＞0，故${S}_{n}={n}^{2}+2n$．
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（{n}^{2}+2n）-[（n-1）^{2}+2（n-1）]$=2n+1；
当n=1时，a₁=S₁=3，符合上式，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1．
（Ⅱ） 解：依题意，b_n=$\frac{{a}_{n}-5}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-4}{{2}^{n}}=\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$，
则${b}_{2n}=\frac{2n-2}{{2}^{2n-1}}=（n-1）•（\frac{1}{4}）^{n-1}$，
设T_n=b₂+b₄+…+b_2n，
故${T}_{n}=0+\frac{1}{4}+\frac{2}{{4}^{2}}+\frac{3}{{4}^{3}}+…+\frac{n-1}{{4}^{n-1}}$，
而$4{T}_{n}=1+\frac{2}{4}+\frac{3}{{4}^{2}}+…+\frac{n-1}{{4}^{n-2}}$．
两式相减，得$3{T}_{n}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{{4}^{n-2}}-\frac{n-1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{1-（\frac{1}{4}）^{n-1}}{1-\frac{1}{4}}-\frac{n-1}{{4}^{n-1}}=\frac{1}{3}（4-\frac{3n+1}{{4}^{n-1}}）$，
故${T}_{n}=\frac{1}{9}（4-\frac{3n+1}{{4}^{n-1}}）$．

点评 本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，是中档题．