Question

2．如图所示，已知四边形ABCD是圆柱的轴截面，M是下底面圆周上不与点A，B重合的点．
（1）求证：平面DMB⊥平面DAM；
（2）若△AMB是等腰三角形，求该圆柱与三棱锥D-AMB体积的比值．

Answer 1

分析 （1）由DA⊥平面AMB可得DA⊥BM，由圆的性质得BM⊥AM，于是BM⊥平面DAM，从而平面DMB⊥平面DAM；
（2）设圆柱的底面半径为r，高为h，分别计算圆柱和棱锥的体积得出体积比．

解答 证明：（1）∵DA⊥平面AMB，BM?平面AMB，
∴DA⊥BM，
∵M是底面圆周上的点，∴BM⊥AM．
又DA?DAM，AM?平面DAM，DA∩AM=A，
∴BM⊥平面DAM，又BM?平面DMB，
∴平面DMB⊥平面DAM．
（2）设圆柱的底面半径为r，高为h，
则V_圆柱=πr²h，
若△AMB是等腰三角形，则S_△ABM=$\frac{1}{2}×2r×r$=r²．
∴V_棱锥D-AMB=$\frac{1}{3}{S}_{△ABM}•h$=$\frac{1}{3}×{r}^{2}×h$=$\frac{{r}^{2}h}{3}$．
∴$\frac{{V}_{圆柱}}{{V}_{棱锥D-AMB}}$=3π．

点评 本题考查了面面垂直的判定，几何体的体积计算，属于中档题．