Question

7．△ABC，满足bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为$\sqrt{21}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件，利用正弦定理，结合辅助角公式，即可求角B的值；
（Ⅱ）若a=2，且AC边上的中线BD长为$\sqrt{21}$，建立关于c的方程，利用三角形的面积公式求△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）由已知条件得：$sinBcosC+\sqrt{3}sinBsinC-sinA-sinC=0$…（2分）
∴$sinBcosC+\sqrt{3}sinBsinC-sin（B+C）-sinC=0$…（3分）
即$\sqrt{3}sinBsinC-cosBsinC-sinC=0$．
∵sinC＞0得$\sqrt{3}sinB-cosB=1$，∴$sin（B-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$…（5分）
又$B-\frac{π}{6}∈（0，\frac{5π}{6}）$，∴$B-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，∴$B=\frac{π}{3}$…（7分）
（II）由已知得：$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，平方得：$\overrightarrow{BA}$²+$\overrightarrow{BC}$²+2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=4$\overrightarrow{BD}$²，…（10分）
即c²+a²+2cacos$\frac{π}{3}$=84，
又a=2，∴c²+2c-80=0
解得：c=8或c=-2（舍去）…（12分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$-$\frac{1}{2}×2×8×\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．…（14分）

点评 本题考查正弦定理，辅助角公式，考查三角形的面积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．