Question

15．已知a＞b＞c＞d＞0，ad=bc．
（Ⅰ）证明：a+d＞b+c；
（Ⅱ）比较a^ab^bc^dd^c与a^bb^ac^cd^d的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先得到（a-d）²＞（b-c）²，根据不等式的性质证明即可；（Ⅱ）根据不等式的性质结合指数的性质证明即可．

解答 解：（Ⅰ）由a＞b＞c＞d＞0得a-d＞b-c＞0，即（a-d）²＞（b-c）²，
由ad=bc得（a-d）²+4ad＞（b-c）²+4bc，即（a+d）²＞（b+c）²，
故a+d＞b+c．…（5分）
（Ⅱ）$\frac{aabbcddc}{abbaccdd}$=（$\frac{a}{b}$$\frac{π}{3}$）^a-b（$\frac{c}{d}$$\frac{π}{3}$）^d-c=（$\frac{a}{b}$$\frac{π}{3}$）^a-b（$\frac{d}{c}$$\frac{π}{3}$）^c-d，
由（Ⅰ）得a-b＞c-d，又$\frac{a}{b}$＞1，所以（$\frac{a}{b}$$\frac{π}{3}$）^a-b＞（$\frac{a}{b}$$\frac{π}{3}$）^c-d，
即（$\frac{a}{b}$$\frac{π}{3}$）^a-b（$\frac{d}{c}$$\frac{π}{3}$）^c-d＞（$\frac{a}{b}$$\frac{π}{3}$）^c-d（$\frac{d}{c}$$\frac{π}{3}$）^c-d=（$\frac{ad}{bc}$$\frac{π}{3}$）^c-d=1，
故a^ab^bc^dd^c＞a^bb^ac^cd^d．…（10分）

点评 本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是一道中档题．