Question

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB=$\frac{2}{3}$，求cosC的值．

Answer 1

分析 （1）由b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化简可得：sinB=sin（A-B），由A，B∈（0，π），可得0＜A-B＜π，即可证明．
（II）cosB=$\frac{2}{3}$，可得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$．cosA=cos2B=2cos²B-1，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$．利用cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB即可得出．

解答 （1）证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B），由A，B∈（0，π），
∴0＜A-B＜π，∴B=A-B，或B=π-（A-B），化为A=2B，或A=π（舍去）．
∴A=2B．
（II）解：cosB=$\frac{2}{3}$，∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
cosA=cos2B=2cos²B-1=$-\frac{1}{9}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$．
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=$-\frac{2}{3}×（-\frac{1}{9}）$+$\frac{\sqrt{5}}{3}$×$\frac{4\sqrt{5}}{9}$=$\frac{22}{27}$．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．