Question

4．已知x∈（0，$\frac{1}{2}$），求函数y=$\frac{1}{x}$+$\frac{8}{1-2x}$，当x=$\frac{1}{6}$最小值是18．

Answer 1

分析 由题意可得2x＞0，1-2x＞0，运用乘1法，可得y=$\frac{1}{x}$+$\frac{8}{1-2x}$=[2x+（1-2x）]（$\frac{2}{2x}$+$\frac{8}{1-2x}$），展开后，运用基本不等式，即可得到所求最小值及对应的x的值．

解答 解：由x∈（0，$\frac{1}{2}$），可得2x＞0，1-2x＞0，
y=$\frac{1}{x}$+$\frac{8}{1-2x}$=[2x+（1-2x）]（$\frac{2}{2x}$+$\frac{8}{1-2x}$）=10+$\frac{2（1-2x）}{2x}$+$\frac{8•2x}{1-2x}$≥10+2$\sqrt{\frac{2（1-2x）}{2x}•\frac{8•2x}{1-2x}}$=10+8=18．
当且仅当1-2x=4x，即x=$\frac{1}{6}$时，取得最小值18．
故答案为：$\frac{1}{6}$，18．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，以及乘1法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．