Question

9．已知函数f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+1，x∈R，
（1）求f（x）最小正周期
（2）求f（x）的值域；
（3）求这个函数的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用二倍角公式求出f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，由此能求出f（x）最小正周期．
（2）由f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，能求出f（x）的值域．
（3）由f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，能求出这个函数的单调递增区间．

解答 解：（1）f（x）=cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+1=$\frac{cos2x+1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+1=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴f（x）最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴f（x）的值域为[0，2]．
（3）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴这个函数的单调递增区间满足：
-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$2x+\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z．
∴这个函数的单调递增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．

点评 本题考查三角函数的最小正周期、值域、单调增区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．