Question

7．设n为正偶数，$\frac{{C}_{n}^{0}{+C}_{n}^{2}{+C}_{n}^{4}+…{+C}_{n}^{n}}{{C}_{n}^{n-2}{+C}_{n}^{n-1}}$=$\frac{32}{9}$，则n的值为（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 由$\frac{{C}_{n}^{0}{+C}_{n}^{2}{+C}_{n}^{4}+…{+C}_{n}^{n}}{{C}_{n}^{n-2}{+C}_{n}^{n-1}}$=$\frac{32}{9}$，可得$\frac{\frac{1}{2}×{2}^{n}}{\frac{n（n-1）}{2}+n}$=$\frac{32}{9}$，化简利用整除的性质即可得出．

解答 解：∵$\frac{{C}_{n}^{0}{+C}_{n}^{2}{+C}_{n}^{4}+…{+C}_{n}^{n}}{{C}_{n}^{n-2}{+C}_{n}^{n-1}}$=$\frac{32}{9}$，∴$\frac{\frac{1}{2}×{2}^{n}}{\frac{n（n-1）}{2}+n}$=$\frac{32}{9}$，
化为：2^n-5=$\frac{n（n+1）}{9}$，n或n+1必然被9整除．
∵n为正偶数，∴n=8．
故选：B．

点评 本题考查了组合数的运算公式及其性质、二项式定理系数的性质、整除的理论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．