Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（4a-3）x+3a，x＜0}\\{lo{g}_{a}（x+1）+1，x≥0}\end{array}\right.$（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2-$\frac{x}{3}$恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二段上的最大值，作出|f（x）|和y=2-$\frac{x}{3}$的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，列出不等式组解出．

解答 解：∵f（x）是R上的单调递减函数，
∴y=x²+（4a-3）x+3a在（-∞．，0）上单调递减，y=log_a（x+1）+1在（0，+∞）上单调递减，
且f（x）在（-∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3-4a}{2}≥0}\\{0＜a＜1}\\{3a≥1}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{4}$．
作出y=|f（x）|和y=2-$\frac{x}{3}$的函数草图如图所示：
由图象可知|f（x）|=2-$\frac{x}{2}$在[0，+∞）上有且只有一解，
∵|f（x）|=2-$\frac{x}{3}$恰有两个不相等的实数解，
∴x²+（4a-3）x+3a=2-$\frac{x}{3}$在（-∞，0）上只有1解，
即x²+（4a-$\frac{8}{3}$）x+3a-2=0在（-∞，0）上只有1解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（4a-\frac{8}{3}）^{2}-4（3a-2）=0}\\{-\frac{4a-\frac{8}{3}}{2}＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（4a-\frac{8}{3}）^{2}-4（3a-2）＞0}\\{3a-2＜0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{51}{36}$或a＜$\frac{2}{3}$，
又$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{3}{4}$，∴$\frac{1}{3}≤a＜\frac{2}{3}$．
故答案为[$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题．