Question

9．已知S是数集，若对任意a、b∈S都有a+b、a-b，ab、$\frac{a}{b}$（b≠0）∈S，则称S是数域．下列四个数集中，数域的个数是（　　）
①整数集Z；②有理数集Q；③实数集R；④数集F={a+$\sqrt{2}$b|a，b∈Q}．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据已知中数域的定义：设S是一个数集，对任意a、b∈S，都有a+b、a-b、ab、$\frac{a}{b}$∈S（除数b≠0）则称S是一个数域，对四个命题逐一进行判断即可得出正确的结论．

解答 解：对于①整数集Z，令a=1、b=2，则a、b∈Z，但$\frac{a}{b}$∉Z，∴Z不是数域；
对于②有理数集Q，任取a、b∈Q，都有a+b、a-b，ab、$\frac{a}{b}$（b≠0）∈Q，∴Q是数域；
对于③实数集R，任取a、b∈R，都有a+b、a-b，ab、$\frac{a}{b}$（b≠0）∈R，∴R是数域；
对于④数集F={a+$\sqrt{2}$b|a，b∈Q}，任取x、y∈F，
都有x+y=（a₁+$\sqrt{2}$b₁）+（a₂+$\sqrt{2}$b₂）=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）$\sqrt{2}$∈F，
x-y=（a₁+$\sqrt{2}$b₁）-（a₂+$\sqrt{2}$b₂）=（a₁-a₂）+（b₁-b₂）$\sqrt{2}$∈F，
xy=（a₁+$\sqrt{2}$b₁）×（a₂+$\sqrt{2}$b₂）=（a₁a₂+2b₁b₂）+（a₂b₁+a₁b₂）$\sqrt{2}$∈F，
$\frac{x}{y}$=（a₁+$\sqrt{2}$b₁）÷（a₂+$\sqrt{2}$b₂）=$\frac{{{a}_{1}a}_{2}-{{2b}_{1}b}_{2}}{{{a}_{2}}^{2}-{{2b}_{2}}^{2}}$+$\frac{{{a}_{2}b}_{1}{{-2a}_{1}b}_{2}}{{{a}_{2}}^{2}-{{2b}_{2}}^{2}}$$\sqrt{2}$∈F，∴F是数域；
综上，②③④是数域．
故选：C．

点评 本题考查了新定义概念的理解能力与应用问题，解题时要对新定义理解到位，是易错题．