Question

20.如图,点P为斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱BB₁上一点,PM⊥BB₁交AA₁于点M,PN⊥BB₁交CC₁于点N.

 　　 (1)求证：CC₁⊥MN；

　　  (2)在任意△DEF中有余弦定理：

　　　  DE²＝DF²＋EF²－2DF·EFcosDFE.

　　  拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面

积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.

 

 

Answer 1

20.［证明］(1)∵CC₁∥BB₁,

  ∴CC₁⊥PM,CC₁⊥PN,且PM、PN相交于点P,

  ∴CC₁⊥平面PMN.                                   

  ∵MN平面PMN,∴CC₁⊥MN.                         

 ［解］(2)在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,有

  S＝S＋S－2SScosα.

  其中α为平面CC₁B₁B与平面CC₁A₁A所组成的二面角.   

  ∵CC₁⊥平面PMN,

∴平面CC₁B₁B与平面CC₁A₁A所组成的二面角为∠MNP.

在△PMN中,PM²＝PN²＋MN²－2PN·MNcosMNP,

PM²·CC＝PN²·CC＋MN²·CC－2(PN·CC₁)·(MN·CC₁)    cosMNP, 由于S＝PN·CC₁,S＝MN·CC₁,S＝

PM·BB₁及CC₁＝BB₁,

则S＝S＋S－2SScosα.