Question

（2006•海淀区二模）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点A（1，0）、B（0，-1），动点P（x，y）满足：

OP

=m

OA

+(m-1)

OB

(m∈R)．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹与双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的离心率等于

3

，求双曲线C的方程．

Answer 1

分析：（1）由点的坐标求出向量的坐标，代入

OP

=m

OA

+(m-1)

OB

(m∈R)整理即可得到点P的轨迹方程；
（2）联立两曲线方程，利用根与系数关系得到两交点的横坐标的和与积，再由以MN为直径的圆经过原点得到

OM

•

ON

=0，代入根与系数关系后得到关于a，b的方程，结合离心率可求解a，b的值，经验证判别式大于0成立，所以答案可求．

解答：解：（1）∵

OP

=m

OA

+(m-1)

OB

，
∴（x，y）=m（1，0）+（m-1）（0，-1）
∴

x=m y=1-m

，∴x+y=1即点P的轨迹方程为x+y-1=0
（2）由

x+y=1 x2 a2 - y2 b2

得：（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0
∵点P轨迹与双曲线C交于相异两点M、N，∴b²-a²≠0，
且△=4a⁴-4（b²-a²）（-a²-a²b²）＞0（*）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

2a2

b2-a2

，x1x2=-

a2+a2b2

b2-a2

∵以MN为直径的圆经过原点，∴

OM

•

ON

=0，
即：x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0，即1+

2a2

b2-a2

-

2(a2+a2b2)

b2-a2

=0
即b²-a²-2a²b²=0①，∵e=

3

，∴e2=

a2+b2

a2

=3，∴b²=2a²②．
∴由①、②解得a=

1

2

，b=

2

2

符合（*）式
∴双曲线C的方程为4x²-2y²=1．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量数量积在解题中的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．