Question

7．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2sin²（B+C）=$\sqrt{3}$sin 2A．
（1）求A的大小；
（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）利用三角形内角和公式和倍角公式化简已知可得2sin²A=2$\sqrt{3}$sinAcosA．解得sinA≠0，整理可得：2sin（A-$\frac{π}{3}$）=0，结合A为三角形内角，即可得解．
（2）由余正弦定理可解得c的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵2sin²（B+C）=$\sqrt{3}$sin 2A，又A+B+C=π，
∴2sin²A=2$\sqrt{3}$sinAcosA．
∵sinA≠0，
∴sinA=$\sqrt{3}$cosA，整理可得：2sin（A-$\frac{π}{3}$）=0，
∵0＜A＜π，-$\frac{π}{3}$＜A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴解得：A=$\frac{π}{3}$．
（2）因为a=7，b=5，A=$\frac{π}{3}$．
由余正弦定理可得：49=25+c²-2×$5×c×cos\frac{π}{3}$，整理可得：c²-5c-24=0，
所以解得：c=8或-3（舍去），
故△ABC的面积S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×5×8×sin\frac{π}{3}$=10$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角形内角和公式，倍角公式，正弦定理，三角形面积公式的应用，熟练掌握相关公式和定理是解题的关键，属于基础题．