Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2的图象上（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）在数列{a_n}中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，…，第2^n-1项，按取出顺序组成新的数列{b_n}，写出数列{b_n}的前三项b₁，b₂，b₃，并求数列{b_n}的通项b_n及前n项和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2的图象上，
∴a_n+1=a_n+2．（2分）．
∴a_n+1-a_n=2，即数列a_n是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列，（4分）．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）
（Ⅱ）依题意知：b₁=1，b₂=3，b₃=7
bn=2•2^n-1-1=2ⁿ-1
所以S_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=2ⁿ⁺¹-n-2
即数列{b_n}的前n项和S_n==2ⁿ⁺¹-n-2
分析：（Ⅰ）由题意可得a_n+1-a_n=2，从而得到数列{a_n}为等差数列，代入等差数列的通项公式可得a_n．
（Ⅱ）由题意得bn=2ⁿ-1观察通项公式可知采用分组求和，再分别代入等比数列及等差数列的求和公式．
点评：主要考查等差数列同项公式的求解，属于公式的基本运用．求数列的前n项和的关键是求出通项，从而分别利用等差数列及等比数列的求和公式代入求值．