Question

已知f(x)=

2-x x≤0 x2-6x+2 x＞0

，则关于x的不等式f（3-x²）＜f（2x）的解集为（　　）

• A．(-3，-

  3

  )
• B．（-3，1）
• C．(-∞，2-

  3

  )∪(2+

  3

  ，+∞)
• D．(-3，1)∪(2+

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：作出函数f（x）的图象，根据图象可得函数的单调性，易知3-x²≤3，分情况讨论：当2x≤3时由单调性可去掉不等式中的符号“f”，得不等式组；当2x＞3时，若3-x²≥0，利用函数的对称性可化为函数的单调增区间内，同理用单调性可去掉符号“f”，得不等式组；当当2x＞3时，若3-x²＜0可把所给不等式表示出来，解不等式即可；

解答：解：作出函数f（x）的图象，如右图所示：
显然3-x²≤3，
①当2x≤3时，由图象知f（x）在（-∞，3]上递减，在[3，+∞）上递增，
由f（3-x²）＜f（2x）得3-x²＞2x，
从而可得不等式组

3-x2＞2x 2x≤3

，解得-3＜x＜1；
②当2x＞3时，若3-x²≥0，由y=x²-6x+2的图象关于x=3对称，得f（3-x²）=f（6-（3-x²））=f（3+x²），
则f（3-x²）＜f（2x）即f（3+x²）＜f（2x），由图象知f（x）在[3，+∞）上递增，有3+x²＜2x，
所以有不等式组

3+x2＜2x 2x＞3 3-x2≥0

，此时无解；
③当2x＞3时，若3-x²＜0，由f（3-x²）＜f（2x），得2-（3-x²）＜（2x）²-6×2x+2，化简得x²-4x+1＞0，
从而可得不等式组

2x＞3 3-x2＜0 x2-4x+1＞0

，解得x＞2+

3

；
综上可得f（3-x²）＜f（2x）的解集为：（-3，1）∪（2+

3

，+∞）．
故选D．

点评：本题考查二次函数的单调性及其应用，考查不等式的求解，考查分类讨论思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力．