Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）若f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，B={x|f(

(a+1)x-1

x+1

)＞0，a∈R}，A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用单调性的定义，通过f（xy）=f（x）+f（y），以及当x＞1时，f（x）＞0，即可证明f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）利用函数的单调性通过f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，求出集合A，通过集合B={x|f(

(a+1)x-1

x+1

)＞0，a∈R}，求出集合B，结合A∩B=∅，对a与0的大小分类讨论，求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）f（x）在（0，+∞）上为增函数，证明如下：
设0＜x₁＜x₂＜+∞，则由条件“对任意正数x，x都有f（xy）=f（x）+f（y）”，
可知：f(x2)=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)，
∵

x2

x1

＞1∴由已知条件f(

x2

x1

)＞0，
∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0即f(x2)＞f(x1)，
因此f（x）在（0，+∞）上为增函数．…（4分）
（2）∵f（3）=1∴f（9）=2
∴f（x）＞f（x-1）+2?f（x）＞f（9x-9），
∴

x＞9x-9 x-1＞0

，
从而A={x|1＜x＜

9

8

}，…（6分）
在已知条件中，令x=y=1，得f（1）=0．                     …（7分）
∵f(

(a+1)x-1

x+1

)＞0=f(1)⇒

ax+x-1

x+1

＞1⇒

ax-2

x+1

＞0⇒(ax-2)(x+1)＞0…（9分）
∴①a=0时  B={x|x＜-1}，满足 A∩B=∅
②a＞0时  B={x|x＜-1或x＞

2

a

}
∵A∩B=∅∴

2

a

≥

9

8

⇒a≤

16

9

③a＜0时，不等式（ax-2）（x+1）＞0的解集在两个负数之间，满足 A∩B=∅
综上，a的取值范围是a≤

16

9

…12分．

点评：本题考查函数单调性的证明，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．