Question

函数f(x)=sin2x-2

3

cos2x+

3

+1的一个单调增区间是（　　）

• A、(-

  π

  6

  ，

  π

  6

  )
• B、(0，

  π

  3

  )
• C、(

  π

  6

  ，

  π

  2

  )
• D、(-

  π

  3

  ，

  2π

  3

  )

Answer 1

分析：把f（x）的解析式的第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后给前两项提取2，利用两角差得正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的一个单调增区间，列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到f（x）的单调增区间，即可判定四个选项中正确的选项．

解答：解：f(x)=sin2x-2

3

cos2x+

3

+1
=sin2x-

3

（cos2x+1）+

3

+1=2（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）+1=2sin（2x-

π

3

）+1，
∵正弦函数的一个单调区间为（-

π

2

，

π

2

），
∴当-

π

2

＜2x-

π

3

＜

π

2

，即-

π

12

＜x＜

5π

12

时，f（x）单调递增，
则函数f（x）的一个单调增区间是（0，

π

3

）．
故选B

点评：此题考查了三角函数的恒等变换，以及正弦函数的单调性．利用两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式把f（x）的解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．同时要求学生掌握正弦函数的单调性．