Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ），

b

=（cos2θ，sin2θ），

c

=（-1，0），

d

=（0，1）．
（1）求证：

a

⊥（

b

+

c

） （其中θ≠kπ）；
（2）设f（θ）=

a

•（

b

-

d

），且θ∈（0，π），求f（θ）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式求出

a

•(

b

+

c

)，利用向量垂直的常用条件得到证明．
（2）利用向量的数量积公式求出f（θ），将f（θ）化简，利用三角函数的有界性求出其值域．

解答：解（1）∵

a

•(

b

+

c

)=(cosθ，sinθ)•(cos2θ-1，sin2θ)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-cosθ
=cos（2θ-θ）-cosθ=0，
∴

a

⊥(

b

+

c

)
（2）

b

-

d

=(cos2θ，sin2θ-1)
f（θ）=

a

•(

b

-

d

)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-sinθ
=cosθ-sinθ=

2

cos(θ+

π

4

）
∵θ∈（0，π），
∴θ+

π

4

∈(

π

4

，

5π

4

），
∴cos（θ+

π

4

)∈[-1，

2

2

）∈[-1，

2

2

]
∴f（θ）的值域为[-

2

，1）

点评：平面向量与三角函数的结合的试题中，向量一般都是转化的工具，然后利用三角函数的公式及性质进行求解，正弦定理与余弦定理是用来解三角形的常用工具，还考查了基本不等式在求最值中的应用．