Question

已知点P（a，0），对于抛物线y²=2x上任一点Q，都有|PQ|≥|a|，则实数a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设Q（x，y），由P（a，0），利用两点间的距离公式能求出|PQ|²=（x+1-a）²+（2a-1），（x≥0），再由二次函数的性质能求出实数a的取值范围．

解答： 解：设Q（x，y），
∵P（a，0），
∴|PQ|²=（x-a）²+y²
=（x-a）²+2x
=x²+2（1-a）x+a²
=（x+1-a）²+（2a-1），（x≥0）
这是个二次函数，对称轴x=a-1，
若a-1≥0，a≥1，则当x=a-1时，|QP|_min=

2a-1

．
若a-1＜0，a＜1，则当x=0时，|QP|_min=|a|．
∴当a＜1时，有|PQ|≥|a|．
由

2a-1

≥|a|，解得：a=1．
综上，实数a的取值范围是（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．

点评：本题考查满足条件的实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意两点间距离公式和二次函数性质的灵活运用．